第一回 次元解析とテイラー展開

1.

物理量にはすべて次元(単位)がある。長さの次元を\([L]\)、時間の次元を\([T]\)、質量の次元を\([M]\)と表すことにすると、速さは\([L/T]\)、運動量は\([M L/T]\)などの次元を持っている。次元について以下の問いに答えよ。

(1)

バネ定数\(k\)のバネにつながれた、質量\(m\)の質点がある。 この質点の振動周期\(T\)は\(k\)及び\(m\)だけで決まるであろう。 そこで、

\[ T \sim k^{\alpha} m^{\beta} \]

とおいて、次元が合うように\(\alpha\)、\(\beta\)の値を決めよ。

(2)

一様重力下(重力加速度\(g\))において、質量\(m\)、長さ\(l\)の単振り子があるとする。 この振動周波数\(\omega\)の\(m\)、\(g\)、\(l\)依存性を知りたい。 前問と同様に、

\[ \omega \sim l^{\alpha} m^{\beta} g^{\gamma} \]

とおいて、次元が合うように\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)の値を決め、 結果について考察せよ。

2.

一様重力下(重力加速度\(g\))における質量\(m\)のボールの運動を考える。簡単のため、空気抵抗などは無視する。

(1)

ボールの運動方程式を立てよ。

(2)

基準の位置からの高さを\(y\)として、全エネルギーを書け。このとき、運動エネルギーと位置エネルギーの次元が等しいことを確かめよ。

(3)

運動方程式から全エネルギーが保存することを確かめよ。

(4)

初速\(V_0\)とし、仰角\(\theta\)で地面からボールを投げるとする。最も遠くに飛ぶ角度を求めよ。

3.

ある関数\(f(x)\)を、特定の点\(x_0\)の近傍で

\[ f(x) = c_0 + c_1(x-x_0) + c_2 (x-x_0)^2 + \cdots \]

と展開することを考える(テイラー展開)。 両辺を適当に微分し、\(x=x_0\)を代入することで係数\(c_n\)を求めよ。

4.

次の関数を\(x=0\)の周りでテイラー展開せよ。

(1)

\(\sin x\)

(2)

\(\cos x\)

(3)

\(\ln (1+x)\)

5.

\(\sin x\)を\(x=0\)の周りで、\(x\)について1次まで展開した場合と3次まで展開した場合で、どの程度近似の程度が異なるか、\(0 \le x \le \pi\)の範囲でグラフに描いて考察せよ。特に\(x = \pi/2\)を代入した場合の値の違いを見よ。