第二回 微分方程式の解法

1.

微分方程式のうち、一種類の変数のみによる微分しか含まないものを常微分方程式と呼ぶ。以下の常微分方程式の一般解を求めよ。

(1)

\[ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\ln x}{y} \]

(2)

\[ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y= 2 \sin x \]

(3)

\[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 2y = 0 \]

2.

微分方程式に含まれる定数は、初期条件などを与えることで定まる。これを初期値問題(境界値問題)と呼ぶ。次の初期値問題の解を求めよ。また\(x>0\)における解の振る舞いを描け。

(1)

\[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} + 4 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 3y = 0 \qquad y(0) = 0, \left. \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right|_{x=0} = 1 \]

(2)

\[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} + 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 2y = 0 \qquad y(0) = 1, \left. \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right|_{x=0} = 0 \]

3.

微分方程式のうち、独立な二変数以上の微分を含むものを偏微分方程式と呼ぶ。偏微分方程式について以下の問いに答えよ。

(1)

\(t\)と\(x\)の関数\(u(x,t)\)について、以下の偏微分方程式の一般解を求めよ(ただし\(\kappa >0\))。

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

(2)

前問で、固定境界条件\(u(0,t) = u(\pi,t) = 0\)を与えた場合の特殊解を求めよ。

4.

上記の微分方程式は、ほぼすべて線形(linear)方程式であった。線形とは、\(f_1\)、\(f_2\)が方程式の解であるとき、その線形和 \(a f_1 + b f_2\)も解であるような性質である(\(a,b\)は定数)。以下の方程式は線形か確認せよ。

(1)

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} + 6 \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]

(2)

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} + 6 u \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]