第四回 フーリエ級数展開と超関数

1.

\((-\pi \le x < \pi)\)で定義されている関数\(f(x)\)を、

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \]

の形に展開することをフーリエ級数展開という。以下の関数を フーリエ級数展開せよ。また、\(x=0\)を代入して値が正しいか確認せよ。

(1)

\(f(x) = |x|\)

(2)

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -1 & \quad -\pi \le x < 0 \\ 1 & \quad 0 \le x \le \pi \end{array} \right. \]

2.

\((-\pi \le x < \pi)\)で定義されている関数\(f(x)\)を、

\[ f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n \exp{(inx)} \]

の形に展開することを複素フーリエ級数展開という(\(c_n\)は複素数)。 これについて以下の問いに答えよ。

(1)

フーリエ級数展開と、複素フーリエ級数展開を比べ、 \(c_n\)を\(a_n\)、\(b_n\)で表せ。

(2)

\(f(x) = \mathrm{e}^x ~(-\pi \le x < \pi)\) を複素フーリエ級数展開し、 この結果を用いて、

\[ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+n^2} \]

の値を求めよ。

3.

次の積分で定義される関数\(\delta(x)\)を、ディラック(Dirac)のデルタ関数という。

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \!\!\! \mathrm{d} x \delta(x) f(x) = \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} \!\!\! \mathrm{d} x \delta(x) f(x) = f(0) \]

ただし\(\varepsilon\)は任意の正数である。また、 次のような関数\(\theta(x)\)を階段関数、もしくはヘビサイド(Heaviside)関数という。

\[ \theta(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & \quad (x < 0) \\ 1 & \quad (x \ge 0) \\ \end{array} \right. \]

これらの関数について、以下の問いに答えよ。 ただし、デルタ関数、ヘビサイド関数と内積をとる関数\(f(x)\)は、 \(f(\infty) = f(-\infty) = 0\)であり、何回でも微分ができる性質を持つものとする。

(1)

次の等式を証明せよ。

\[ \begin{aligned} x \delta(x) &= 0\\ \delta(ax) &= \delta(x)/|a|, ~(a \neq 0) \end{aligned} \]

(2)

次の等式を証明せよ。

\[ \displaystyle\frac{\mathrm{d} \theta(x)}{\mathrm{d} x} = \delta(x) \]

(3)

デルタ関数\(\delta(x)\)を、\((-\pi \le x < \pi)\)の範囲で定義されていると考えて複素フーリエ級数展開せよ。