第五回 フーリエ変換

1.

関数\(f(x)\)について、

\[ \hat{f}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} \!\!\! \mathrm{d} x f(x) \mathrm{e}^{-ikx} \]

をフーリエ変換と呼び、\(\hat{f}(k) = {\mathcal F}[f(x)]\)とあらわす。また、

\[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \!\!\! \mathrm{d} k \hat{f}(k) \mathrm{e}^{ikx} \]

を逆フーリエ変換\((f(x) = {\mathcal F}^{-1}[\hat{f}(k)])\)と呼ぶ。この時、以下を証明せよ。ただし、 \(f^{(n)}(\pm \infty)=0\)とする。

(1)

\({\mathcal F}\left[ a f(x) + b g(x) \right] = a{\mathcal F}[f(x)] + b{\mathcal F}[g(x)]\) (線形性)

(2)

\({\mathcal F}\left[f^{(n)}(x) \right] = (ik)^n \hat{f}(k)\)

(3)

\({\mathcal F}[f(x+a)] = \mathrm{e}^{iak}\hat{f}(k)\)

(4)

\({\mathcal F}[x^n f(x)] = i^n \hat{f}^{(n)}(k)\)

(5)

\[ {\mathcal F}[f*g(x)] = {\mathcal F}[f(x)] {\mathcal F}[g(x)] \]

ただし、\(f*g(x)\)は

\[ f*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y)\mathrm{d} y \]

で定義される積分である(たたみ込み積分と呼ばれる)。

2.

次の関数のフーリエ変換を求めよ。ただし\(a>0\)とする。

(1)

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & \qquad |x| \le a \\ 0 & \qquad |x| > a \\ \end{array} \right. \]

(2)

\[ f(x) = \mathrm{e}^{-a|x|} \]

3.

次の微分方程式を満たす解を\(y(x)\)、そのフーリエ変換を\(\hat{y}(k)\)とする。 方程式全体をフーリエ変換することで\(\hat{y}(k)\)を求めよ。 ### (1)

\[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} - 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \delta(x) \]

(2)

\[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} - y = \mathrm{e}^{-ax^2} \qquad (a>0) \]