第七回 留数定理とその応用

1.

関数\(f(z)\)は領域\(D\)で正則であり、\(C\)は領域\(D\)内の単一閉曲線であるとする。このとき、\(C\)内の点\(a\)について、以下の公式が成り立つ(コーシーの積分公式)。

\[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-a} \mathrm{d} z \]

これを用いて次の積分の値を求めよ。

(1)

\[ \int_{|z|=2} \frac{\mathrm{e}^z}{z+1} \mathrm{d} z \]

原点を中心とし、半径\(2\)の円を正の向きに一周する積分路を表す。以下同様。

(2)

\[ \displaystyle \int_{|z|=2} \frac{z}{z^2+1} \mathrm{d} z \]

2.

関数\(f(z)\)は領域\(D\)で正則であり、 \(C\)は領域\(D\)内の単一閉曲線であるとする。 このとき、\(C\)内の点\(a\)について、以下の公式が成り立つ(これもコーシーの積分公式)。

\[ f^{n}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \mathrm{d} z \]

これを用いて次の積分の値を求めよ。

(1)

\[ \displaystyle \int_{|z|=3} \frac{\mathrm{e}^{3z}}{(z-2)^2} \mathrm{d} z \]

(2)

\[ \displaystyle \int_{|z|=1} \frac{1}{z^2(z-3)} \mathrm{d} z \]

3.

関数\(f(z)\)が、\(z=a\)を孤立特異点として持つとき、

\[ \mathrm{Res}f(a) \equiv \frac{1}{2\pi i} \int_C f(z) \mathrm{d} z \]

を\(f(z)\)の\(a\)における 留数 (residue) と呼ぶ(ただし\(C\)は\(a\)の近傍を正の方向に一周する積分路とする)。以下の関数のすべての特異点における留数を求めよ。

(1)

\[ \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{iz}}{z^2+a^2} \qquad (a > 0) \]

(2)

\[ \displaystyle \frac{1}{z^4+1} \]

4.

次の実積分の値を、複素積分を利用して求めよ。

(1)

\[ \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4+1} \mathrm{d} x \]

(2)

\[ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos k x}{x^2+1} \mathrm{d} x \qquad (k>0) \]