第九回 ラプラス変換
1.
関数\(f(x)\)について、
\[ \hat{f}(s) = \int_{0}^{\infty} \!\!\! \mathrm{d} x f(x) \mathrm{e}^{-sx} \]
をラプラス変換と呼び、\(\hat{f}(s) = {\mathcal L}[f(x)]\)とあらわす。ただし、\(s\)はラプラス変換が存在するように値をとった複素数である。このとき、以下を証明せよ。
(1)
\[ {\mathcal L}\left[f^{(n)}(x) \right] = s^n \hat{f}(s) - \left\{ s^{n-1}f(0) + s^{n-2}f'(0) + \cdots \right\} \]
(2)
\[ {\mathcal L} \left[ \mathrm{e}^{ax} f(x) \right] = \hat{f}(s-a) \]
(3)
\[ {\mathcal L}\left[f*g(x)\right] = {\mathcal L}\left[f(x)\right] {\mathcal L}\left[g(x)\right] \]
ただし、\(f*g(x)\)は
\[ f*g(x) = \int_{0}^{x} f(x-y)g(y)\mathrm{d} y \]
で定義される積分である(たたみ込み積分と呼ばれる)。
2.
次の関数\(f(x)\)のラプラス変換を求めよ。必要であればラプラス変換が存在するための\(s\)の条件も求めよ。
(1)
\[ f(x) = 1 \]
(2)
\[ f(x) = \delta(x) \]
(3)
\[ f(x) = x \]
(4)
\[ f(x) = \mathrm{e}^{\alpha x} \]
\(\alpha\)は複素定数
3.
関数\(f(x)\)とそのラプラス変換\(\hat{f}(s)\)について、 \(s = a + bi\)とするとき
\[ f(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} \mathrm{d} s \hat{f}(s) \mathrm{e}^{sx} \]
を逆ラプラス変換と呼ぶ。以下の関数を逆ラプラス変換せよ。
(1)
\[ \hat{f}(s) = \displaystyle \frac{1}{s-\alpha} \]
\(\alpha\)は複素定数
(2)
\[ \hat{f}(s) = \displaystyle\frac{s}{s^2+c^2} \]
\(c\)は実定数
4.
以下の微分方程式の初期値問題をラプラス変換を用いて解け。
(1)
\[ \displaystyle\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} - 2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = x \qquad \left( y(0) = y'(0) = 0 \right) \]
(2)
\[ \displaystyle\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} + 2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = 1 \qquad \left( y(0) = y'(0) = 0 \right) \]