2月になってしまった。
Ashkin-TellerわからんわからんっていったらMさんに良い論文を教えてもらった。
Ashkin–Teller model as a vertex problem
おお、これはわかりやすい。
サイトにA, B, C, Dの四種類の原子があるとせよ。隣が同種の時には$\epsilon_0$, AB, CDの時には$\epsilon_1$, AC, BDの時には$\epsilon_2$, AD, BCの時には$\epsilon_3$のエネルギーがあるとせよ。
この時、
$$ H = J_0 + J_1 \sum \sigma_i \sigma_j + J_2 \sum \tau_i \tau_j
- J_3 \sum \sigma_i \sigma_j \tau_i \tau_j $$
というハミルトニアンを考えると、$(\sigma_i, \tau_i)$が$(+,+)$、$(+,-)$、$(-,+)$、$(-,-)$をそれぞれA, B, C,Dに対応させると、$\epsilon_i$と$J_i$の関係がは以下のようになる。
$$ \begin{aligned} \epsilon_0 &= J_0 + J_1 + J_2 + J_3 \ \epsilon_1 &= J_0 + J_1 - J_2 - J_3 \ \epsilon_2 &= J_0 - J_1 + J_2 - J_3 \ \epsilon_3 &= J_0 - J_1 - J_2 + J_3 \end{aligned} $$
これを$J_i$について解くと、
$$ \begin{aligned} 4J_0 &= \epsilon_0 + \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 \ 4J_1 &= \epsilon_0 + \epsilon_1 - \epsilon_2 - \epsilon_3 \ 4J_2 &= \epsilon_0 - \epsilon_1 + \epsilon_2 - \epsilon_3 \ 4J_3 &= \epsilon_0 - \epsilon_1 - \epsilon_2 + \epsilon_3 \end{aligned} $$
となる。ここで、逆温度$\beta = 1/kT$を使って
$$ K_i = - \beta J_i $$
$$ \omega_i = \exp\left(-\beta \epsilon_i\right) $$
という変数$K_i$と$\omega_i$を導入すると、
$$ \begin{aligned} \exp(4 K_0) &= \omega_0 \omega_1 \omega_2 \omega_3 \ \exp(4 K_1) &= \omega_0 \omega_1 / \omega_2 \omega_3 \ \exp(4 K_2) &= \omega_0 \omega_2 / \omega_1 \omega_3 \ \exp(4 K_3) &= \omega_0 \omega_3 / \omega_1 \omega_2 \end{aligned} $$
という関係を得る。
で、ここから$\tau_i$を双対変換しなければならない。この双対変換はKramers–Wannier変換と呼ばれている。
ちなみに、良く出てくるF. Y. Wuはこの人かな。
双対変換で出てくる等式
$$ \exp(K \sigma \sigma’) = \cosh{K}\sum_{t=0,1} (\sigma \sigma’ \tanh{K})^t $$
について、
$\sigma \sigma’ = 1$の時に$\mathrm{e}^K$、$\sigma \sigma’ = -1$の時に$\mathrm{e}^{-K}$なので、和と差から
$$ \begin{aligned} \exp(K \sigma \sigma’) &= \frac{\mathrm{e}^K+\mathrm{e}^{-K}}{2} + \sigma\sigma’ \frac{(\mathrm{e}^K-\mathrm{e}^{-K})}{2} \ &= \cosh{K} + \sigma\sigma’ \sinh{K} \ &= \cosh{K} \left(1 + \sigma\sigma’ \tanh{K}\right) \ &= \cosh{K}\sum_{t=0,1} (\sigma \sigma’ \tanh{K})^t \end{aligned} $$
これを整理すると先ほどの式になる。
高橋さんの双対変換の解説も見つけた。わかりやすい。なるほどフーリエ変換だ。
dev.toにXbyakハンズオンの紹介記事書いた。ほとんど読まれていないが、とにかく英語版を書いて、さらにdev.toに紹介まで書いた俺偉い。絶対エタると思った。